Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 50. Пределы применимости полученного уравнения

Приближенное уравнение предыдущего параграфа основано на следующих до пущениях: 1) линейные элементы пластинки, перпендикулярные к срединной плоскости, после изгиба остаются прямыми и устанавливаются нормально к искривленной срединной поверхности; 2) срединная поверхность не испытывает никаких растяжений и играет роль нейтрального слоя. Допущения эти справедливы, пока мы имеем дело с чистым изгибом пластинки, но как только

мы переходим к более общему случаю изгиба поперечными нагрузками, задача становится более сложной. Ясно, что под влиянием касательных напряжений, соответствующих перерезывающим силам появятся сдвиги, которые вызовут искривление линейных элементов, перпендикулярных к срединной плоскости. Под влиянием нагрузки, лежащей на пластинке, наверное, возникнут напряжения которые соответствуют надавливанию друг на друга слоев пластинки, параллельных срединной плоскости. Очевидно, что вследствие этих надавливаний срединная плоскость пластинки может испытать некоторые деформации в своей плоскости и уже не будет играть роль нейтрального слоя.

Для оценки степени достоверности сделанных допущений относительно деформации и выяснения надеяшости полученного приближенного решения приходится обращаться к имеющимся точным решениям. Точные решения для изгиба пластинок силами, приложенными по контуру, а также сплошной нагрузкой, равномерно распределенной или изменяющейся по линейному закону, показывают, что во всех рассмотренных случаях приближенное уравнение (206) имеет место. Что касается применения формул (198) и (205) для определения моментов, то они не вполне точны. Соответствующие точные решения заключают в себе еще дополнительные члены, которыми оценивается влияние касательных напряжений и напряжений на величину прогиба пластинки. Однако значение этих членов весьма мало, пока толщина пластинки мала по сравнению с другими размерами, и практически с этими поправками можно не считаться.

Гораздо большее влияние на степень точности приближенного уравнения (206) имеет величина трех прогибов которые получает пластинка. Условие малости прогибов ограничивает область применения полученного выше приближенного уравнения к исследованию изгиба пластинок в значительно большей степени, чем, например, при рассмотрении изгиба призматических стержней. Приближенная теория для призматических стержней дает удовлетворительные результаты даже в тех случаях, когда прогибы в несколько раз превосходят поперечные размеры стержня. Но в случае пластинок приближенное уравнение можно с уверенностью применять лишь тогда, когда прогибы пластинки малы по сравнению с ее толщиной. Причиной такой разницы между тонкими стержнями и тонкими пластинками является то обстоятельство, что искривление пластинки без деформаций в срединной плоскости возможно лишь в исключительных случаях, когда срединная плоскость обращается при изгибе в развертываемую поверхность. Во всех других случаях изгиб сопровождается появлением деформаций в срединной поверхности. Деформации эти растут с прогибом и могут достигать значений такого же порядка, что и те деформации, которые учитываются приближенным решением. Эти обстоятельства легко объяснимы при рассмотрении простейшей задачи, которой является изгиб круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. Приближенное решение (200) соответствует в этом случае изгибу пластинки по шаровой поверхности. Пусть радиус этой поверхности, а — радиус пластинки и линия

(рис. 91) — диаметральное сечение изогнутой срединной поверхности. Если допустить, что радиусы, проведенные в срединной плоскости, при изгибе не изменяют своей длины, т. е. что то в таком случае изгиб пластинки будет сопровождаться сжатием срединной поверхности по направлениям, перпендикулярным к проведенным радиусам. Вычислим это сжатие для окружности, представляющей контур пластинки. До деформации радиус этой окружности равнялся а. После изгиба контур пластинки, как видно из рисунка, имеет радиус

Рис. 91.

Интересующее нас относительное сжатие представится так:

Для удобства сравнения представим эту величину в зависимости от прогиба пластинки Из рисунка имеем

Следовательно,

Между тем максимальные удлинения, которые учитываются элементарной теорией, будут

В действительности распределение деформаций в срединной плоскости является более сложным, чем мы предположили в нашем выводе, но максимальная величина деформаций будет такого же порядка, как и найденные нами удлинения (а), и пренебрегать этими деформациями по сравнению с тем, что нам дает элементарная теория [формула (b)], можно, как мы видим, лишь в том случае, если мало по сравнению с .

Рис. 92.

Ввиду практической важности этого заключения мы обратились к более точному решению задачи 1 об изгибе круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. При составлении уравнений приняли во внимание искривление срединной поверхности и таким образом получили уравнения

Уравнения эти для каждого частного случая могут быть проинтегрированы вычислительным путем. Результаты, относящиеся к одному численному примеру, приведены на

рис. 92, где графически представлены прогибы, моменты и напряжения на различных расстояниях от центра изгибаемой пластинки. Расстояния выражены через толщину пластинки через обозначены прогибы, получаемые элементарным путем; более точные значения прогибов; обозначают растягивающие усилия в срединной поверхности, имеющие соответственно направления радиуса и перпендикуляра к нему. Из рисунка видно, что при прогибе пластинки, составляющем 0,6 толщины, наибольшие напряжения в срединной плоскости пластинки достигают 18% тех максимальных напряжений, которые получаются элементарным путем.

С возрастанием прогиба разность между результатами точного и приближенного решений будет возрастать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление