Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Изотропное тело

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом случае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями (координатные оси х, у, z направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, можно представить в таком виде:

Поскольку в рассматриваемом случае материал обладает одинаковыми упругими свойствами по всем направлениям, то в выражении (а) составляющие деформации представляющие удлинения в направлениях, перпендикулярных к должны, очевидно, войти одинаковым образом; коэффициенты и с должны быть равны между собой. В дальнейшем условимся обозначать их буквой Коэффициент а отличен от для него примем обозначение Тогда

Подобные формулы можем получить и для составляющих напряжения Таким образом, главные напряжения выражаются через главные деформации при посредстве двух упругих постоянных которые обыкновенно называют коэффициентами Ламе.

Найдем теперь зависимость между составляющими напряжения и составляющими деформации при любом направлении координатных осей. Возьмем

новую систему координатных осей Косинусы углов, составляемых этими осями с главными х, у, z, приводим в следующей таблице:

(см. скан)

Составляющие напряжения [см. ф-лы (10), (11)], отнесенные к новым осям, будут

Подставляя вместо главных напряжений их выражения (b) через деформации и полагая на основании формул (20) — (22) получаем

Это и будут нужные нам зависимости между составляющими напряжения и деформации в случае изотропного тела.

Выражение для потенциальной энергии, из которого зависимости (28) получаются дифференцированием, в случае изотропного тела запишется так;

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление