Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Непосредственное определение перемещений

В § 19, 20 был показан путь решения задачи теории упругости, который распадался на два этапа. Сначала по заданным внешним силам определялись напряжения и потом по найденным напряжениям — соответствующие перемещения. В некоторых случаях удобнее непосредственно приступать к определению перемещений Для этого необходимо дифференциальные уравнения равновесия

выразить через перемещения

На основании зависимостей (28) между составляющими напряжения и деформации имеем

Вставляя эти значения в первое из уравнений (а), получаем

Подобным образом могут быть преобразованы и два другие уравнения системы Пользуясь для упрощения символом представим уравнения

равновесия, выраженные через перемещения, в таком виде:

Если тело совершает движение, то к объемным силам придется присоединить силы инерции, и мы получим такую систему дифференциальных уравнений:

Выразив через перемещения дифференциальные уравнения равновесия или движения упругого тела, необходимо соответствующим образом преобразовать и условия на поверхности:

Подставляя вместо их выражения через перемещения, получаем

Или, принимая во внимание, что производная по нормали

получаем

Уравнения (43) и условия на поверхности (44) вполне определяют перемещения которые совершают точки закрепленного упругого тела при деформации.

В случае, когда нет объемных сил, уравнения (43) перепишутся так:

Дифференцируя первое из этих уравнений по х, второе по у, третье по z и складывая результаты, находим:

Следовательно, объемное расширение представляется в этом случае функцией удовлетворяющей дифференциальному уравнению

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление