Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27. Кручение призматических стержней кругового поперечного сечения

При элементарном исследовании напряжений, возникающих в случае кручения круглых стержней, исходят из предположения, что плоские поперечные сечения скручиваемого стержня остаются и после деформации плоскими, а радиусы, проведенные в плоскости сечения, остаются прямыми.

Рис. 8.

Как следствие этих допущений получаем, что по плоскостям поперечных сечений скручиваемого стержня действуют лишь касательные напряжения. Величина этих напряжений в какой-либо точке А (рис. 8) поперечного сечения пропорциональна расстоянию этой точки от центра сечения О, а направление перпендикулярно к направлению соответствующего радиуса. Если ось z совпадает с направлением оси цилиндра, то согласно элементарной теории кручения для составляющих напряжения получаем следующие значения:

Здесь через обозначен угол закручивания, приходящийся на единицу длины стержня. Легко видеть, что дифференциальные уравнения равновесия

при взятом распределении напряжений будут удовлетворены только в том случае, если отсутствуют объемные силы 1 и, следовательно, Что касается условий на поверхности

то в данном случае они перепишутся так:

На боковой поверхности цилиндра следовательно,

В случае кругового сечения для всякой точки контура сечения будем иметь следовательно, усилия также обращаются в нуль. Боковая поверхность цилиндра при взятом нами распределении напряжений будет свободна от всяких усилий.

Если бы сечение стержня было не круглое, то для осуществления принятого распределения напряжений пришлось бы кроме усилий по концам приложить еще усилия по боковой поверхности стержня. Распределение этих усилий определится условием

Для оснований цилиндра поэтому здесь т. е. усилия по концам стержня должны быть распределены по тому же закону, что и для любого поперечного сечения.

Таким образом, принятое в элементарной теории распределение напряжений при кручении удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности. Что касается дифференциальных зависимостей (38) и (39), то они, очевидно, будут удовлетворены, так как напряжения представляются линейными функциями координат.

Перемещения точек стержня при кручении могут быть найдены таким же способом, как и в только что рассмотренном случае растяжения стержня под действием собственного веса. Перемещения эти представятся формулами

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление