Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 48. Другие формы поперечных сечений

Общее решение уравнения (76) в виде целого полинома может быть представлено в такой форме 1:

Ограничившись полиномом второй степени, выше мы получили решение для случая эллиптического сечения. Повышая степень полинома и увеличивая число постоянных мы будем получать все новые решения. Сен-Венан рассмотрел несколько таких решений и для некоторых из них произвел целый ряд вычислений, чтобы разыскать наиболее напряженные места и определить жесткость С. Мы приведем здесь лишь некоторые результаты.

Рис. 64.

Останавливаясь на полиноме третьей степени и выбирая функцию, четную относительно у, Сен-Венан получил решение

Оно удовлетворит условию на контуре в том случае, если контур задан уравнением

Изменяя , получаем различные возможные очертания. При уравнение (b) дает совокупность трех прямых, образующих стороны равностороннего треугольника, высота которого равна а. Расположение треугольника и изображение в горизонталях искривленной поверхности поперечного сечения представлены на рис. 64.

Жесткость при кручении трехгранной призмы будет

Наибольшие касательные напряжения равны а и имеют место в срединах сторон контура, т. е. в точках контура, наиболее близких к оси стержня. В вершинах треугольника касательные напряжения равны нулю.

Выбирая решение в виде полинома четвертой степени, четного относительно х и у, получаем такую функцию напряжений:

Рис. 65.

Рис. 66.

Она удовлетворяет условию на поверхности если контур поперечного сечения определяется уравнением Изменяя а, получаем семейство криволинейных четырехугольников с закругленными вершинами. Вид этих очертаний представлен на рис. 65. Наибольшие напряжения и в этом случае имеют место в точках контура, ближайших к оси скручиваемого стержня.

Комбинируя решения, соответствующие полиномам четвертой и восьмой степени, Сен-Венан получил распределение напряжений для сечения, имеющего форму мальтийского креста (рис. 66). Максимальные напряжения и в этом случае получаются в точках контура, ближайших к оси стержня. Величина их равна

Жесткость при кручении определяется в этом случае по формуле

На основании вычислений, произведенных над различными формами поперечных сечений с односвязным контуром, Сен-Венан сделал несколько важных для практических приложений заключений. Он показал, что при одной и той же площади поперечного сечения стержня жесткость его при кручении будет тем большая, чем меньше полярный момент инерции сечения. Поэтому круговое сечение при затрате определенного количества материала обеспечивает наибольшую жесткость.

Такого же рода заключение можно сделать относительно значения наибольших касательных напряжений. При заданном скручивающем моменте и заданной площади поперечного сечения наименьшее значение максимальных напряжений будем иметь для сечения с наименьшим полярным моментом инерции. Сен-Венан показал также, что для различных рассмотренных им сечений жесткость при кручении может быть представлена формулой где коэффициент к для различных сечений мало изменяется.

Полагая что соответствует приблизительно эллиптическому сечению (81), получаем приближенную формулу

с достаточной для практических приложений точностью определяющую жесткость при кручении для различных односвязных контуров.

Рассматривая места наибольших напряжений, Сен-Венан нашел, что в рассмотренных им случаях в наиболее невыгодных условиях находятся точки контура, ближайшие к оси стержня В точках, соответствующих вершинам выступающих углов, напряжения обращаются в нуль. В случае входящих углов в вершинах получаются бесконечно большие напряжения. Здесь при приложении скручивающей пары должны получаться местные остаточные деформации. Вопрос о распределении напряжений в этих местах подробно разобран для случая сечений, представляющих собою круговой сектор. Распределение напряжений в круглом валу, ослабленном вырезом для шпонки, рассмотрено Файлоном. Вопрос о влиянии продольных цилиндрических полостей на распределение напряжений в скрученном круглом валу изучен Ламором. Оказывается, что в случае малого кругового поперечного сечения такой полости напряжения у контура полости вдвое больше, чем в соответствующей точке сплошного стержня.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление