Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 51. Случай прямоугольного поперечного сечения

Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 76) мы можем составить сколько угодно функций, обращающихся на контуре в нуль. Например, всякая функция вида гртп будет удовлетворять этому условию, и мы можем представить функцию напряжений в виде ряда

В таком случае будем иметь

при нечетных тип. Если или четное число, то этот интеграл обращается в нуль.

Рис. 76.

Уравнения (90) при нечетных тип получают такую форму:

если или четное число, то

Определяя таким образом коэффициенты получаем для функции выражение в виде такого бесконечного ряда:

Здесь для краткости обозначено через а отношение

Зависимость между скручивающим моментом и величиною на основании уравнения (75) напишется так:

Результат этот можно представить в более удобной для вычислений форме, если принять во внимание, что

В таком случае

Дальнейшее упрощение получим, если примем во внимание, что

тогда

Выбирая обозначения так, чтобы было больше а, мы без особых затруднений можем вычислить сумму бесконечного ряда, входящего в полученную формулу (92), так как весьма близок к единице и ряд вообще быстро сходиться. В случае весьма узкого прямоугольника можем положить и представить (92) так:

Для квадратного сечения формула (92) дает

Вообще формула (92) может быть представлена в таком виде: Значения коэффициента к для различных значений вычислены Сен-Венаном. Несколько таких значений мы приводим в табл. 4.

Таблица 4 (см. скан)

Наибольшие касательные напряжения имеют место в срединах длинных сторон прямоугольного контура. Формула для касательных напряжений в различных точках линии напишется так:

Полагая или получаем значение наибольших напряжений:

Значения коэффициента для различных а приведены в табл. 4. Метод Ритца дает возможность представить функцию напряжений в различных формах. Вместо тригонометрического ряда мы для представления можем воспользоваться целым полиномом [формула (f) § 50 ). Направив координатные оси по осям симметрии прямоугольника, положим

Здесь в силу симметрии нужно сохранить лишь четные значения тип.

В качестве примера произведем расчет для квадратного сечения. Ограничимся первым членом ряда и положим Вставляя это в интеграл (89), находим для значение Величина скручивающего момента получается

Сравнение с формулой (94) показывает, что взятое нами первое приближение дает величину с точностью до В качестве второго приближения положим

Уравнения (90) дадут для неопределенных пока коэффициентов значения

В таком случае

Второе приближение дает погрешность, равную 0,15%. Для напряжений приближенное решение обладает значительно меньшей точностью. Например, погрешность в величине максимума напряжений для второго приближения достигает 4%.

Способ, примененный выше к прямоугольнику, легко может быть распространен на случай любого выпуклого многоугольника. Представив функцию напряжений в виде полинома

где уравнения отдельных сторон многоугольника, вычислим коэффициенты с помощью уравнений (90).

В случае контуров, имеющих входящий угол, например для уголка тавра и др., применение намеченного метода встречает затруднения. В таком случае следует воспользоваться или вычислительным, или графическим способом решения уравнения (76).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление