Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 54. Прямоугольное поперечное сечение

Уравнение контура (рис. 78) в этом случае представится так: Чтобы обратить в нуль правую часть уравнения (97), нужно положить При этом на сторонах обратится в нуль выражение На сторонах же очевидно, производная равна нулю.

Мы получим для точек контура и можем принять на контуре

Дифференциальное уравнение (96) перепишется так:

Задача сводится, таким образом, к разысканию провисания мембраны, равномерно натянутой на прямоугольный контур и нагруженной сплошной нагрузкой, изменяющейся по закону

Для определения воспользуемся методом Ритца, который мы применяли при исследовании кручения. При заданном способе распределения нагрузки будет, очевидно, четной функцией относительно х и нечетной относительно у. Мы удовлетворим условиям на контуре, если положим

Рис. 78.

В таком случае

Уравнения (90) представятся в таком виде:

откуда

Обозначая через отношение находим

Касательные напряжения определятся из формул

Заметим, что второй член в выражении для дает как раз ту величину касательных напряжений, которую мы, на основании некоторых допущений, получаем в элементарной теории изгиба. Функцией определяются лишь поправки к касательным напряжениям, вычисляемым элементарным путем.

Вычислим напряжения для точек поперечного сечения, лежащих на оси у. Именно в этих точках, согласно элементарной теории, касательные напряжения

достигают своей наибольшей величины. Составляя производную и принимая во внимание равенства

получаем

Что касается производной то она для рассматриваемых точек обращается в нуль. Для напряжений в этих точках получаем такие формулы:

Множители в фигурных скобках представляют собой те коэффициенты, на которые нужно множить результат элементарной теории, чтобы получить точное значение напряжения. Входящие в полученные формулы ряды весьма быстро сходятся и их суммирование не представляет никаких затруднений. Соответствующие вычисления для различных значений отношения были произведены Сен-Венаном. Оказалось, что для высоких прямоугольников результаты элементарной теории весьма близки к точному решению. В случае квадратного сечения коэффициенты, на которые приходится множить величину Равнысоответственно 0,94 и 1,13. Для прямоугольников, у которых разность между точным и приближенным решениями получается большей, чем для квадрата, и она будет тем больше, чем большее значение имеет отношение Таким образом, большие погрешности элементарная теория может дать лишь в случае балок прямоугольного сечения, имеющих малую высоту и большую ширину. Но как раз именно в этих случаях касательные напряжения невелики и влияние их на изгиб ничтожно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление