Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Изгиб балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании

Предположим, что балка с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности (рис. 6). Общий интеграл (8) дифференциального уравнения изогнутой оси балки представим в такой форме:

Рис. 6.

Из условий симметрии заключаем, что в нашем случае у должен представляться четной функцией х. Следовательно, в общем интеграле нужно положить

Произвольные постоянные подберем так, чтобы на опорах прогибы и изгибающие моменты обращались в нуль, т. е. чтобы были выполнены такие условия:

Введя для краткости записи обозначение и вставив вместо у его значение, перепишем условия на концах в таком виде;

откуда находим

Вставляя эти значения произвольных постоянных в выражение (13) и принимая во внимание, что

получаем уравнение изогнутой оси балки в таком виде:

Полагая в этом выражении находим для прогиба посередине такое значение:

Вводя обозначение получаем

При малых значениях и можно положить В этом случае формула (15) дает известное выражение для прогиба балки с опертыми концами, нагруженной равномерной нагрузкой. Значения при различных и приведены в табл. 1.

Таблица 1 (см. скан)

Дифференцируя выражение (14) по и полагая потом находим угол поворота конца балки при изгибе:

где

Ряд значений функции приведен в табл. 1.

Чтобы определить изгибающий момент составляем выражение для Тогда

Полагая в этом выражении найдем изгибающий момент для середины балки:

где

Рассмотрим теперь изгиб нашей балки парой сил приложенной к левому концу (рис. 7). В общем интеграле (13) в этом случае будет отсутствовать первый член, и уравнение изогнутой оси представится так:

Рис. 7.

Для определения произвольных постоянных будем иметь такие условия:

Из этих условий находим

Полагая в уравнении (а) изогнутой оси находим прогиб посередине

Для дальнейших приложений интересно найти углы поворота концов балки под действием момента Составляя производную у и полагая в ней , получаем

Здесь для сокращения записи введены обозначения

Значения функций приведены в табл. 1. При беспредельном убывании и значения этих функций стремятся к единице, и формулы (19) дают в этом случае известные значения для углов поворота концов балки, свободно лежащей на двух опорах и изгибаемой парой сил, приложенных на конце.

Составляя производную мы легко вычисляем величину изгибающего момента. Для средины пролета будем иметь

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление