Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Балки, подвергающиеся одновременному действию изгиба и растяжения

В качестве основного случая рассмотрим изгиб балки сосредоточенной силой (рис. 14). Уравнение изогнутой оси и дальнейшие формулы для этой задачи мы можем написать сразу, если только воспользуемся результатами § 8, полученными для случая сжатой балки. Для этой цели нужно только изменить знак у продольной силы. В таком случае вместо величин в наши формулы везде войдут величины и нам придется вместо поставить Вводя на основании равенств вместо тригонометрических функций гиперболические, получаем из формул (25) и (26) для левой части балки такие выражения:

Рис. 14.

Для правой половины балки получим подобные формулы, нужно только поставить вместо с величину I — с, вместо величину и изменить знак у. Из этих формул путем сложения действия сил могут быть легко получены решения для всех тех случаев, которые мы разобрали раньше в связи с изгибом сжатых балок. Так, например, для изгиба балки двумя равными и прямо противоположными парами приложенными по концам, получим

Для изгиба балки равномерной нагрузкой будем иметь

Комбинируя эти два случая, легко находим решения для балки с абсолютно или упруго заделанными концами.

В первом случае имеем [см. формулу (39)]

Во втором случае для опорных пар получим такое выражение:

Уравнение упругой линии в этом случае, на основании (41), напишется таким образом:

Здесь величина х представляет собой коэффициент опорной пары, определяемый на основании (48) так: -абсолютной заделке при свободно поворачивающихся концах Величина эта зависит не только от жесткости закрепления, характеризуемой величиной а, но и от величины продольной силы При малом значении силы т. е. при малых и, мы можем положить Возьмем закрепление, при котором Тогда при отсутствии продольной силы будем иметь Прикладывая силу и постепенно увеличивая ее, получаем при различных и такие значения для

Коэффициент опорной пары в этом случае быстро убывает с увеличением продольной силы Следовательно, влияние заделки концов с возрастанием растягивающей силы также быстро уменьшается.

Воспользуемся уравнением упругой линии и приведем здесь ряд основных формул, которые могут понадобиться при расчете равномерно нагруженной балки с упруго заделанными концами, подвергающейся действию продольных растягивающих сил

Наибольший прогиб, очевидно, получится по середине пролета. Полагая в уравнении получаем для него значение

Для упрощения вводим такие обозначения:

Тогда будем иметь

(см. скан)

При получаем отсюда прогиб балки с опертыми концами, при имеем случай абсолютно заделанных концов. Если положим то и мы придем к известным формулам для балок, подвергающихся лишь действию равномерно распределенной нагрузки. Если величины и их известны, то вычисление прогибов по формуле (50) не представит никаких затруднений. Для облегчения вычислений мы в табл. 2 приводим значения функций для ряда значений .

Величину изгибающего момента посередине пролета получим так:

Введя для краткости обозначения

представим выражение для изгибающего момента посередине в таком виде:

Наконец, опорный момент на основании (47) представится так:

где

При помощи формул (51) и (52) легко решается вопрос о наибольших напряжениях в рассматриваемом случае» Числовые значения функций и приводимые в табл. 2, значительно облегчают соответствующий расчет.

Таким же путем, как и в случае сжатых балок, мы можем прийти к заключению, что норма допускаемых напряжений при одновременном действии изгиба и растяжения может быть повышена, так как функции убывают с возрастанием продольной силы.

В заключение отметим, что при беспредельном увеличении и первым членом в уравнении (49) можно будет пренебречь по сравнению со вторым, тогда придем к такому выражению:

Это известная формула для малых прогибов тяжелой гибкой нити.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление