Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава II. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С КРИВОЙ ОСЬЮ

§ 17. Малые деформации стержня с круговой осью в плоскости кривизны

При исследовании изгиба стержней малой кривизны (§ 14) было указано, что с достаточной для практики точностью можно считать изменение кривизны оси бруска в каком-либо поперечном сечении пропорциональным величине соответствующего изгибающего момента.

Если за положительное направление момента примем то, которое увеличивает начальную кривизну, и обозначим начальный радиус оси бруска через и радиус кривизны изогнутой оси бруска после деформации через то основное уравнение для изогнутой оси бруска при действии сил в плоскости кривизны, с которой совпадает одна из главных осей инерции поперечного сечения бруска, напишется так:

Рис. 19.

Совершенно так же, как и для прямых стержней, мы при условии малых перемещений можем заменить уравнение (88) более простым уравнением, если выразим изменение кривизны оси бруска через перемещение и, которое совершают точки оси в радиальном направлении при деформации бруска. Пусть искривленная ось бруска и пунктиром указана первоначальная круговая ось (рис. 19, а). Радиальные перемещения и считаем положительными, если они происходят в направлении к центру О. Двумя радиусами с углом выделим элемент кривизна которого до деформации будет

В случае весьма малых перемещений мы при определении изменения кривизны можем сравнивать кривизну элемента с кривизной элемента выделенного из деформированной оси бруска теми же радиусами От и Для элемента кривизна может быть представлена так:

Из геометрических соображений (рис. 19, б) можем написать

В таком случае, пренебрегая малыми высшего порядка, получаем

Вставляя это выражение в уравнение (88), получаем

Совершенно такой же результат мы получили бы, если бы взяли уравнение искривленной оси А В в полярных координатах и выражение для радиуса вектора вставили в известную формулу для кривизны

Путем отбрасывания малых высшего порядка придем и в этом случае к уравнению (88).

Уравнение (88) играет такую же роль, как уравнение (2) в случае прямых стержней. Общий интеграл этого уравнения легко находится и может быть написан в таком виде:

Произвольные постоянные должны быть найдены из условий закрепления концов бруска. В случае статически неопределенных задач решение (90) дает возможность найти лишние неизвестные величины, являющиеся результатом лишних закреплений.

В качестве примера возьмем случай круговой арки с шарнирными закреплениями (рис. 20). На арку действует сосредоточенная сила приложенная в среднем сечении С.

Произведя в этом сечении разрез и заменяя действие правой половины арки на левую силами и и моментом найдем для какого-либо сечения изгибающий момент

Вставляя это выражение в общий интеграл (90), получаем

Сюда вошли две лишние неизвестные Для определения этих величин и произвольных постоянных и имеем следующие условия на концах:

Четвертое уравнение получим, пренебрегая растяжениями от продольной силы и полагая равным нулю изменение длины оси бруска. В таком случае

Из найденных четырех уравнений определятся все нужные нам величины, и мы можем найти деформации и напряжения в любом сечении арки.

Рис. 20.

Рис. 21.

В качестве второго примера рассмотрим изгиб под действием собственного веса кругового кольца, опирающегося на горизонтальную плоскость (рис. 21). Производя сечения в точке А и заменяя действие правой половины на левую силой и парой мы находим в сечении В такое выражение для изгибающего момента:

Здесь через у обозначен вес единицы длины кольца. Вставляя выражение для в общий интеграл (90), получаем

Для определения лишних неизвестных и постоянных имеем условия

Кроме того, условие нерастяжимости оси дает нам четвертое уравнение Из этих уравнений находим

Следовательно,

При составлении выражений для изгибающих моментов в рассмотренных примерах мы исходили из недеформированного состояния кольца и пренебрегали теми изменениями в расположении внешних сил, которые получаются вследствие деформации. В тех случаях, когда под действием внешних сил возникают значительные продольные усилия, изменение формы бруска может оказывать существенное влияние на обстоятельства изгиба и его приходится принимать во внимание при составлении выражения для изгибающего момента. Мы разрешим эту задачу при помощи тригонометрических рядов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление