Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22. Устойчивость призматического стержня при различных способах закрепления концов

Мы рассмотрели пока случаи продольного изгиба для стержня с одним свободным и другим заделанным концами и стержня с двумя опертыми концами. Для других способов закрепления концов легко найдутся нужные значения критических нагрузок, если воспользоваться решениями для балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия (§ 9). — это то значение продольной сжимающей силы, при котором прогибы, вызываемые поперечной нагрузкой, неопределенно возрастают. Возьмем, например, стержень с одним заделанным и другим опертым концами (рис. 43, а). Если к продольной силе присоединить равномерную поперечную нагрузку то опорный момент представится так [см. формулу (38)]:

где при взятых обозначениях

Прогиб стержня, а следовательно, и опорный момент неопределенно возрастают, если знаменатель выражения (а) обращается в нуль. В таком случае

найдется из уравнения

Первое приближение для корней этого трансцендентного уравнения проще всего найти графически (рис. 44), определив пересечения прямой с кривыми

Рис. 43.

Рис. 44.

Рис. 45.

Наименьший корень уравнения, соответствующий будет

тогда

При одинаковой упругой заделке обоих концов стержня (см. рис. 43, б) нужный нам опорный момент представится так [см. формулу (40)]:

Критическая нагрузка определится из условия

Здесь а — коэффициент, на который нужно множить чтобы получить поворот конца. При имеем свободно поворачивающиеся концы и уравнение (с) дает нам

При абсолютно заделанных концах Тогда из уравнения (с) находим для первого корня значение следовательно,

Для всяких промежуточных значений а уравнение (с) также легко решается. Рассмотрим, например, устойчивость сжатых сторон квадрата с жесткими узлами при том условии, что все стержни имеют одинаковую жесткость (рис. 45).

Рис. 46.

Легко видеть, что при искривлении, указанном на рисунке, и уравнение (с) принимает вид откуда Следовательно,

Без всяких затруднений решается задача и в тех случаях, если для двух концов стержня упругость заделки различна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление