Главная > Разное > Курс теории упругости (Тимошенко С.П.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Продольный изгиб стержней переменного сечения

Эйлер, которому принадлежат первые решения в области устойчивости сжатых стержней, не ограничился случаем призматического стержня и рассмотрел несколько задач, где поперечное сечение стержня изменялось вдоль оси. Так, например, им решена задача об устойчивости конического стержня и стержня, боковая поверхность которого представляет собой параболоид вращения Некоторые задачи этого рода представляют практический интерес и мы приводим здесь нужные для расчетов численные результаты.

Рис. 49.

Рассмотрим случай, когда момент инерции поперечного сечения, соответствующий изгибу стержня в плоскости наимежьшей жесткости ху, изменяется пропорционально квадрату расстояния от некоторой точки О, лежащей на оси х (рис. 49) 2 Пусть моменты инерции для верхнего и нижнего сечений. Тогда где А — некоторый постоянный коэффициент. Положим

В таком случае

При выбранном расположении координатных осей дифференциальное уравнение напишется так:

Уравнение это легко приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами, и общии интеграл его в случае, когда представится так:

Здесь для сокращения записи введено обозначение

Условия закрепления для стержня с нижним заделанным и верхним свободным концами будут такие:

Первое из этих условий будет удовлетворено, если мы в общем интеграле положим Второе условие приводит нас к трансцендентному уравнению

наименьший корень которого определяет величину Величина эта будет зависеть от к и мы окончательную формулу можем представить так:

где величина, определяемая на основании решения уравнения (с). При как же мы приняли в нашем выводе, очевидно, Для стержня, расширяющегося кверху и мы получим Несколько числовых результатов приведено в табл. 3.

Таблица 3 (см. скан)

Таблица 4 (см. скан)

Числами этой таблицы, очевидно, можно воспользоваться при расчете стержня, полученного путем соединения основаниями двух равных стержней только что рассмотренного вида и опертого по концам. Каждая половина полученного таким образом стержня будет совершенно в таких же условиях, как и рассмотренный выше стержень.

Решение уравнения (а) для тех случаев, когда приводит нас при заданных условиях на концах к прямой форме равновесия.

В случае конического стержня, располагая координатные оси, как указано на рис. 50» придем к уравнению

При этом

Решение уравнения (d) показывает, что критическая нагрузка может быть определена по формуле (112). Нужно только вместо подставить числа из табл. 4.

Если оба конца конического стержня оперты, то для получения критической силм нужно в формулу (112) вместо подставить его значения из табл. 5.

Некоторый практический интерес представляет та форма стержня, которая при заданном имеет наименьший объем. Оказывается, что эта форма представляет собой тело вращения, причем радиус сечения изменяется так, что его момент сопротивления все время

остается пропорциональным изгибающему моменту от продольной сжимающей силы (см. рис. 38). Если через обозначим момент инерции сечения в плоскости заделки, то для критической нагрузки в случае формы наименьшего объема получим

Таблица 5 (см. скан)

Рис. 50.

Рис. 51.

Мы до сих пор рассматривали непрерывное изменение поперечного сечения стержня. В случае резких изменений (рис. 51) нужно стержень разбить на участки и отдельно составить дифференциальное уравнение для каждого участка. Если каждый участок имеет призматическую форму, то решение задачи не представляет никаких затруднений и мы на основании условий на концах и условий на границах участков получаем трансцендентное уравнение для определения Например, в случае двух участков (см. рис. 51), пользуясь обозначениями получаем такое уравнение для определения критической нагрузки:

Если взять в положить то найдем

Если

Пользуясь уравнением (е), можно без затруднений выяснить влияние ослаблений сечения на небольшом протяжении по длине стержня. Влияние ослабления получается тем большим, чем оно ближе к заделанному основанию стержня.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление